Так как пи­ра­ми­да яв­ля­ет­ся пра­виль­ной, то в ее ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Тогда най­дем его пло­щадь по фор­му­ле

Так как H  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, то

Най­дем AM по фор­му­ле вы­со­ты рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка: Тогда

Так как то тре­уголь­ник AHP  — рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный. Зна­чит,

Те­перь най­дем объем пи­ра­ми­ды по фор­му­ле

Ответ:

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Про­ведём вы­со­ту AM к сто­ро­не BC, апо­фе­му DM в плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка BDC, вы­со­ту пи­ра­ми­ды DO. При­мем вы­со­ту DO за x. Угол DAO  — угол между реб­ром и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, по­это­му он равен 45°. По­это­му AO  =  DO.

Точка O  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. От­ре­зок MO со­став­ля­ет тре­тью часть от вы­со­ты/ме­ди­а­ны AM, а AO  — две трети (O  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, делит их в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны).

Найдём x, вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOM:

Итак, вы­со­та AM равна те­перь найдём сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка ABC:

а затем его пло­щадь S:

На­ко­нец, найдём объём V пи­ра­ми­ды DABC:

Ответ: 18 дм³.

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Про­ведём вы­со­ту AM к сто­ро­не BC, апо­фе­му DM в плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка BDC, вы­со­ту пи­ра­ми­ды DO. При­мем вы­со­ту DO за x. Угол DAO  — угол между реб­ром и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, по­это­му он равен 45°. По­это­му AO = DO.

Точка O  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. От­ре­зок MO со­став­ля­ет тре­тью часть от вы­со­ты/ме­ди­а­ны AM, а AO  — две трети (O  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, делит их в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны).

Найдём x, вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOM:

Итак, вы­со­та AM равна 9, те­перь найдём сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка ABC:

а затем его пло­щадь S:

На­ко­нец, найдём объём V пи­ра­ми­ды DABC:

Ответ:

Все грани этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ют­ся рав­но­сто­рон­ни­ми тре­уголь­ни­ка­ми. Пря­мая SM яв­ля­ет­ся апо­фе­мой, SK : KM  =  2 1. Тре­уголь­ник BNC  — ис­ко­мое се­че­ние. Так как тре­уголь­ник ASB  — рав­но­сто­рон­ний, а SM  — апо­фе­ма, то SM яв­ля­ет­ся и ме­ди­а­ной, тогда BN тоже ме­ди­а­на, так как BN пе­ре­се­ка­ет­ся с SM в точке K, ко­то­рая делит SM в от­но­ше­нии 2 : 1. А зна­чит, что Тре­уголь­ник BNC  — рав­но­бед­рен­ный, так как BN и NC  — рав­ные ме­ди­а­ны рав­ных тре­уголь­ни­ков. Из тре­уголь­ни­ка CBN про­ведём вы­со­ту NE на сто­ро­ну CB, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Найдём пло­щадь се­че­ния:

Ответ:

Угол   — угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и реб­ром пи­ра­ми­ды. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна (см.рис.)

По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах: сто­ро­на пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, а также: В тре­уголь­ни­ке AMB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем сто­ро­ну AM, яв­ля­ю­щу­ю­ся ме­ди­а­ной и вы­со­той:

Так как O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, то ме­ди­а­на AM де­лит­ся этой точ­кой в от­но­ше­нии 2 к 1, счи­тая от вер­ши­ны, най­дем AO и OM:

Те­перь най­дем сто­ро­ну DO из тре­уголь­ни­ка AOD:

Те­перь из тре­уголь­ни­ка DOM: Тогда: от­ку­да:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Объём пи­ра­ми­ды вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле В слу­чае пи­ра­ми­ды S₁ABM, вы­со­та равна по­ло­ви­не вы­со­ты пи­ра­ми­ды SABC, а пло­щадь ос­но­ва­ния равна по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния той же пи­ра­ми­ды, так как ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на рав­но­ве­ли­кие части. Тогда объём пи­ра­ми­ды S₁ABM равен чет­вер­ти объёма пи­ра­ми­ды SABC, то есть

Ответ:

По­сколь­ку пи­ра­ми­да яв­ля­ет­ся пра­виль­ной, то в ее ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Тогда най­дем его пло­щадь по фор­му­ле

По­сколь­ку H  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, то

Най­дем AM по фор­му­ле вы­со­ты рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка:

Так как то тре­уголь­ник AHP  — рав­но­сто­рон­ний пря­мо­уголь­ный. Зна­чит,

Те­перь най­дем объем пи­ра­ми­ды по фор­му­ле

Ответ: 144 см³.

Пи­ра­ми­да SABC  — пра­виль­ная, в ее ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC. Про­ве­дем в этом тре­уголь­ни­ке вы­со­ту AM, тогда, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мые SM и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол SMH яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды. Так как бо­ко­вая грань на­кло­не­на к ос­но­ва­нию под углом, рав­ным тан­генс угла SMH равен 3. Имеем:

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC от­ре­зок AM яв­ля­ет­ся вы­со­той и ме­ди­а­ной. Вер­ши­на пи­ра­ми­ды про­еци­ру­ет­ся в центр тре­уголь­ни­ка ABC  — точку H, ко­то­рая яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти и точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, делит ме­ди­а­ну AM на два от­рез­ка в от­но­ше­нии 2 : 1 счи­тая от вер­ши­ны, таким об­ра­зом, AH : HM  =  2 : 1. Тогда длина AM втрое боль­ше длины HM и равна 3 см. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AMB угол ABM равен 60°, сле­до­ва­тель­но, угол BAM равен 30°. Длина ка­те­та BM, ле­жа­ще­го на­про­тив угла, рав­но­го 30°, равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AB. При­мем за x длину BM. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

от­ку­да Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ: